要因実験とは（解析編）│初期段階のスクリーニングに

おいしいホットサンドを作るための実験を例として取り上げます。因子として、２水準の３因子を考えます。

パンの種類（Ａ・Ｂ）、マスタードの有無（あり・なし）、焼き時間（３分・５分）

すべての組み合わせ（２ｘ２ｘ２＝８通り）を実験し、実験を２回繰り返した結果は以下のようになりました。
結果はおいしさを表す架空の単位「うま」で表し、大きい方がおいしいホットサンドであることを示しています。

では、ここから上の手順に則って解析を進めていきましょう！

１．実験条件をラベルに変換

まずは因子をアルファベット（a, b, c …）に、水準を数字（-1 or +1）に変換します。パンの種類を因子a（パンAを-1, パンBを+1）, マスタードの有無を因子b（なしを-1, ありを+1）, 焼き時間を因子c（３分を-1, ５分を+1）としました。

次に各実験条件にラベルを付けます。
No. 1の条件 ＝ 水準が+1である因子がないので、アルファベットは付与されません。便宜上、数字の「１」を付与します。
No. 2の条件 ＝ 因子cのみ水準が+1ですので、アルファベット「c」が付与されます。
No. 3の条件 ＝ 同様に「b」が付与されますね。
No. 4の条件 ＝ 因子bとcの水準が+1ですので、アルファベット2文字「bc」が付与されます。
以下同様にラベルを付与していきます。

上の表にすでに記入していますので、確認してみてください。

２．主効果を算出

まずは因子a（パンの種類）の主効果を算出してみます。公式を改めて確認しておきましょう。

\[ 因子aの主効果 = 因子aが水準+1である結果の平均-因子aが水準-1である結果の平均\]
もしくは
\[因子aの主効果 = ラベルがaを含む結果の平均-ラベルがaを含まない結果の平均\]

１つ目の式の右辺第１項「因子aが水準+1である結果」はNo. 5～8の実験結果を表し、右辺第２項「因子aが水準-1である結果」はNo. 1～4の実験結果を表しています。
実は２つ目の式も同じことを言っており、右辺第１項はNo. 5～8、第２項はNo. 1～4を表しています。

以上を踏まえると、因子a（パンの種類）の主効果は以下の通り算出できます。

\[ \begin{align}
因子aの主効果 &= \frac{No. 5 + No. 6 + No. 7 + No. 8}{データ数}-\frac{No. 1 + No. 2 + No. 3 + No. 4}{データ数} \\[12pt]
&= \frac{(669 + 650) + (749 + 868) + (642 + 635) + (729 + 860) }{8}-\frac{(550 + 604) + (1037+1052) + (633+601) +(1075+1063)}{8} \\[12pt]
&= 725.25 -826.875 \\[12pt]
&= -101.625
\end{align} \]

同様に、因子b（マスタードの有無）と因子c（焼き時間）の主効果も算出してみましょう。

\[ \begin{align}
因子bの主効果 &= \frac{No. 3 + No. 4 + No. 7 + No. 8}{データ数}-\frac{No. 1 + No. 2 + No. 5 + No. 6}{データ数} \\[12pt]
&= 779.75 -772.375 \\[12pt]
&= 7.375 \\[12pt]
因子cの主効果 &= \frac{No. 2 + No. 4 + No. 6 + No. 8}{データ数}-\frac{No. 1 + No. 3 + No. 5 + No. 7}{データ数} \\[12pt]
&= 929.125-623\\[12pt]
&= 306.125
\end{align} \]

３．交互作用の効果を算出

続いて交互作用の効果を算出してみましょう。まずは因子aとbの交互作用から。公式は次の通りでした。

\[因子abの交互作用 = (ラベルがabを含む結果＆ラベルがaまたはbを含まない結果の平均)-(その他の実験結果の平均)\]

改めて実験結果の表を確認すると、ラベルがabを含む結果はNo. 7, 8、ラベルがaまたはbを含まない結果はNo. 1, 2ですね。

\[ \begin{align}
abの交互作用の効果 &= \frac{No. 1 + No. 2 + No. 7 + No. 8}{データ数}-\frac{No. 3 + No. 4 + No. 5 + No. 6}{データ数} \\[12pt]
&= \frac{(550 + 604) + (1037+1052) + (642 + 635) + (729 + 860)}{8}-\frac{(633+601) +(1075+1063) + (669 + 650) + (749 + 868)}{8} \\[12pt]
&= 763.625 -788.5\\[12pt]
&= -24.825
\end{align} \]

同様に、交互作用bc, acも算出できます。

\[ \begin{align}
bcの交互作用の効果 &= \frac{No. 1 + No. 4 + No. 5 + No. 8}{データ数}-\frac{No. 2 + No. 3 + No. 6 + No. 7}{データ数} \\[12pt]
&= 775 -777.125 \\[12pt]
&= -2.125 \\[12pt]
acの交互作用の効果 &= \frac{No. 2 + No. 4 + No. 6 + No. 8}{データ数}-\frac{No. 1 + No. 3 + No. 5 + No. 7}{データ数} \\[12pt]
&= 699.25 -852.875 \\[12pt]
&= -153.625
\end{align} \]

４．効果のグラフ化

ここで、各主効果と交互作用の効果を表とグラフでまとめてみます。まずは表をつくって各効果の大きさを確認してみましょう。
各効果の大きさ（絶対値）を比較し、100以上を★★★、10以上を★★、それ以下を★と分類しました。

効果	効果推定量	効果の大きさ
主効果a （パンの種類）	-101.625	★★★
主効果b （マスタードの有無）	+7.375	★
主効果c （焼き時間）	+306.125	★★★
交互作用ab	-24.825	★★
交互作用bc	-2.125	★
交互作用ac	-153.625	★★★

主効果に注目すると、主効果aと主効果cに効果がありそうです。
パンの種類や焼き時間を変更するとおいしさに影響があり、マスタードの有無はあまり影響がなさそう、ということが言えそうです。

また、交互作用acの影響が大きく、交互作用abも中程度ですが影響を及ぼしそうですね。
交互作用acが存在するということは、因子a（パンの種類）が異なる場合に、因子c（焼き時間）の効果が異なる、つまりパンの種類によっておいしく焼ける時間が異なる、と解釈できそうです。

続いて、これらをグラフ化して視覚的に確認してみましょう。まずは主効果プロットから。
因子aの効果をグラフ化する場合は、因子aが水準+1のときのデータ（No. 5, 6, 7, 8）の平均値と水準-1のときのデータ（No. 1, 2, 3, 4）の平均値をプロットすればOKです。

たしかに因子aと因子cを変更する場合は変化が大きく、因子bは変更してもあまり変化がありませんね。
主効果のみに着目する場合、因子a（パンの種類）は水準-1（パンA）、因子c（焼き時間）は水準+1（５分）を選択すると最もおいしいホットサンドが出来上がりそうです。
因子b（マスタードの有無）はほとんど影響がないようなので、安く・簡単に作れるように水準-1（なし）が好ましいですね。

次に交互作用を確認してみましょう。
交互作用abの効果をグラフ化する場合は、以下の４つの組み合わせをプロットすればOKです。

• 因子aが水準+1のときに因子bが水準+1であるデータ（No. 7, 8）の平均値
• 因子aが水準+1のときに因子bが水準-1であるデータ（No. 5, 6）の平均値
• 因子aが水準-1のときに因子bが水準+1であるデータ（No. 3, 4）の平均値
• 因子aが水準-1のときに因子bが水準-1であるデータ（No. 1,2）の平均値

交互作用acも同様に因子aと因子cについて４つの組み合わせを計算してプロットしましょう。

まずは左のグラフで交互作用abを確認します。
若干ではありますが因子b（マスタードの有無）がありの場合となしの場合で、因子a（パンの種類）の影響が異なっていそうですね。ただし、上の表で確認した通り影響の大きさが中程度（★★）であり、ほんの小さな差ですので、これは誤差かもしれません。因子bに関しては主効果もほとんどありませんでしたので、やはりどちらを選んでも問題なさそうです。

次に右のグラフで交互作用acを確認してみましょう。
因子c（焼き時間）が３分の場合と５分の場合で、因子a（パンの種類）の影響が異なっています。因子cが水準+1（焼き時間３分）のときは、因子aの水準+1（パンB）の方がおいしく仕上がりますが、因子cが水準-1（焼き時間５分）の場合は因子aは水準-1（パンA）の方がおいしく仕上がるようです。

交互作用を考慮すると、最もおいしいホットサンドが出来上がるのは、因子a（パンの種類）が水準+1（パンA）、因子c（焼き時間）が水準+1（５分）の場合であるといえます。