#02 要因計画はすべての交互作用の情報を得られるか（3水準編）

この記事の結論

3水準要因計画の実験回数は1次モデルに含まれる交互作用を含めたすべての未知数と一致することを確認しました

要因計画とは簡単にいうと総当たりで実験を行う計画

2水準要因計画では1次モデル
3水準要因計画では2次モデル
を想定して情報を集めることになります

例えば、3水準の因子が2つある場合は
すべての組合せを実験しようとすると\(3^2\)で9回の実験が必要となります

\[
y=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\beta_{1^2}{x_1}^2+\beta_{2^2}{x_2}^2+\beta_{LL}x_1x_2+\beta_{LQ}x_1{x_2}^2+\beta_{QL}{x_1}^2x_2+\beta_{QQ}{x_1}^2{x_2}^2
\]

3水準の因子が2つある場合に想定するモデル

ここで\(y\)は応答、\(\beta_i\)は未知数、\(x_i\)は各因子の水準を現しています

2次モデルを仮定した場合の未知数は9つ
ちょうど要因計画の実験回数と同じですね
これはいつでも成り立つことなのでしょうか？

Contents

アプローチ
まとめ

アプローチ

上の話を一般化してみることにします

3水準の因子が\(n\)個あったとすると
2次モデルに含まれる未知数は…
　切片
　\(2n\)個の主効果(1次と2次が\(n\)個ずつ)
　\(4_nC_2\)個の2因子間交互作用
　\(8_nC_3\)個の3因子間交互作用
　…
　\(2^n{}_nC_n\)個の\(n\)因子交互作用
となり、未知数の数の和を数式で現すと以下のようになります

\[
1+2n+4_nC_2+8_nC_3+…+2^n{}_nC_n = \sum_{k=0}^n 2^k{}_nC_k
\]

これが要因計画の実験回数\(3^n\)に等しいことを示すことが今回の目的です

ここで忘れかけていた二項定理を思い出すと以下の等式が成り立つことがわかります

\[
(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {}_nC_k x^ky^{n-k}
\]